ZHANG Zhongren;

• 1:Institute of Mathematical Economics Osaka

Abstract：

This paper shows that the idea of the production function originated with classical political economists. The formula W=c+v+m, which appears for the first time in Volume 3 of Capital, is a typical expression of a linear production function. Although some attempts to exponentiate the Marxian production function(e.g., the study of Onishi Hiroshi) are not yet satisfactory, the progress of the study of the production function from the particular to the general reveals that both the linear production function and the exponential production function(especially the C-D production function) belong to the special case of the CES-type production function, and the two are united in this sense. When the production function is further generalized to the VES type, the intrinsic connection between Marx's production function and other related production functions becomes clear. Marx's model of reproduction is also a kind of production function, which is a production function in the form of a set of equations constructed by Marx by using the means of economic analysis to derive the equilibrium conditions of simple reproduction and expanded reproduction, which contains the self-regulating mechanism, through the exchange relationship between the two categories. In conclusion, the production function is a new field of political economy research, originated from the new understanding of Marxist economics triggered by the progress of the fusion of mathematics and economics, and it is a promising new subject in the combination of the inheritance and the development of Marxist economics. It can not only expand the theory of Marxist economics in a new dimension but also further improve the application system of Marxist economics, especially providing new tools or means for the formulation or analysis of economic policies, so that economic theories can better serve the solution of real economic problems.

Key Words： linear production function;Euler's theorem;CES production function;reproduction;the Two sectors

Abstract:

Keywords:

Foundation: 2024年国家社会科学基金重大项目《数字时代马克思主义基本理论创新发展研究》(项目批准号:24&ZD010)子课题《再生产理论创新》的资助

Authors: ZHANG Zhongren;

References：

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• (1)值得一提的是,德国经济学家埃里希·谷腾堡(Erich Gutenberg)(1897—1984)曾经一度做过这种推广,后来又否定了杜阁这一观点。 (2)熊彼特还强调:杜阁是用产品的连续增量而不是用平均产品(即每单位可变要素的产品)来陈述他的法则的。这说明他实际上已经使用了边际分析,而现代技术的使用所能改进的只是他的陈述方式而已。 (3)不过,需要注意的是,马克思的生产函数表示为价值量(W,其计量单位是劳动时间或货币单位)而不是一般生产函数所采用的使用价值(效用)量下的总产出(Q,其计量单位是实物单位:吨或者公尺等)。当然价值生产函数和使用价值生产函数之间是可以互相转化的。一般说来,Wi=Qiπi,这里πi是单位商品价值量。详见张忠任(2021)。 (4)在马克思那里,不变资本和可变资本的可替换性反映在资本有机构成会发生变化上。马克思曾阐述过:“如果这种增值或贬值以同等程度影响资本的一切部分,利润也就会相应地表现为加倍的或减半的货币额。但是,如果它包含着资本有机构成的变化,就是说,使可变资本部分对不变资本部分的比率提高或降低,那末,在其他条件不变的情况下,利润率就会随着可变资本的相对提高而提高,随着可变资本的相对降低而降低。”(马克思和恩格斯,1974,p.158)可见不变资本和可变资本是具有可替换性的。 (5)例如,马克思曾经多次列举过5个部门的数据,都可以表述为线性方程组形式(马克思和恩格斯,1974,pp.174-176)。而后文中将阐述的马克思再生产模型更是典型的线性方程组。 (6)根据Douglas 的说法,函数形式本身是由Philip Wicksteed(1844—1927)最早提出来的,现在有些相关研究提出了更多更详细的线索,这里不予赘述。 (7)C-D 生产函数也可以扩展为n个变量:■ (8)由于 ■ 从而可知 ■ (9)对■两边取对数可得 ■ (10)主要有:大西和山下(2002a,2002b);山下和大西(2003);大西(2005);大西和金江(2008);大西(2010)。 (11)见大西(2012,pp.133-140)。延伸阅读:山下等(2004);孙世强和大西广(2014);乔晓楠和何自力(2017)。 (12)且不管B的含义,我们对该公式两端取自然对数可得 ■ 等式右边的“■”无法与C+V建立联系,按照曾尔曼的符号,除非 ■ 但是这是不能成立的,因为■。 (13)这一结果用Matlab能够算出来。另外,高木(1971)给出过一种不用求极限的算法。他令■。先求出■,当ρ=0的时候,■,积分可得■这里是积分常数,变量替换后便可得Y=γKαLβ。 (14)关于投入产出理论与马克思经济学的渊源、关系,可参见:晋彤驹(1981);廖才茂(1985);王恺(1982);Leontief(1936;1937;1938) (15)需要强调的是,社会总产值与现在常用的GDP(国内生产总值)有很大的不同。首先,社会总产值严格说应该是按照价值(劳动价值)或者其货币表现来计算的,而GDP则属于按照生产价格的货币表现来统计的。即便不考虑价值(劳动价值)与生产价格的区别问题,他们的统计口径也是不同的。GDP大致相当于国民收入(v+m)加上折旧,当然在统计上还有一些细微区别。 (16)森岛通夫曾经试图把差分导入马克思的再生产分析之中(Morishima,1973),尽管他的分析没有到位[详见张忠任(2004a)]。导入时间因素之后,在推导过程中就可以形成差分,而将之用于分析简单再生产的平衡条件是张忠任(1995)首次给出的。 (17)马克思在1863年6月18日给恩格斯的一封信中说:“我想要一个复式簿记的样本(附有解说),我在阐明魁奈医生的《经济表》时有用”。而在1863年7月6日给恩格斯的另一封信中则说道:“附上一份“经济表”,这是我用来代替魁奈的表的”。分别见《马克思恩格斯全集》第30卷第252页和第358页(马克思和恩格斯,1975)。此时马克思已经做出了一张超越了魁奈《经济表》的新型经济表,相当于1861—1863手稿中汇总了“第1-3草图”的“再生产总过程的经济表”,见《马克思恩格斯全集》第48卷第166-168页及第172页(马克思和恩格斯,1985)。 (18)日本经济学家置盐信雄等把k1=k2作为研究马克思再生产理论的基本前提,是不具有一般性的,从而其结论也有相当大的局限性。参见置塩(1988,p.94)。 (19)第一个把马克思的两大部类的再生产关系用投入产出比表正确地予以表达的是萨缪尔森(Samuelson,1957,p.47)。 (20)注意:c■+c■+Δc■+Δc■=c■+c■。 (21)该公式最早见于Wilhelm (1971)。在国内的相关文献中最早见于雍文远的《社会必要产品论》(雍文远,1985,pp.295-298),不过未注明出处。之后见于石景云发表在《中国社会科学》的“马克思社会再生产理论中的增长公式”(石景云,1988),不过也未注明出处。注意,(5-3)的实质不过是经济增长率公式的一种表述形式,将之理解为经济增长模型的见解是肤浅的。 (22)马克思的再生产体系是由第Ⅰ部类的不变资本c1所生成一事,是由日本国冈山大学经济学部教授藤本乔雄先生于1998年在一封信中首次给出了雏形,详见张忠任(2004a,p242)。 (23)一个重要说明,当笔者把■导入(4-6)中的时候,出现了一个笔误:把■错标为■,这一笔误大约从笔者2004年的相关论著中一直延续到2019年10月19日才被日本大西广教授发现。不过,幸运的是,这一笔误虽然是一个瑕疵,却对推导出来的模型本质没有什么影响,特别是没有影响到该模型收敛的结论。 (24)威廉·克雷勒(Wilhelm Krelle,1916—2004)是德国经济学家。 (25)对森岛的相关批评,详见张忠任(2004a,pp.244-247)。 (26)如果用再生产平衡条件公式(4-4)来详细说明的话,第Ⅱ部类生产过剩的情形相当于Ⅰ(v+m)<Ⅱ(c+Δc),第Ⅱ部类生产不足的情形相当于Ⅰ(v+m)>Ⅱ(c+Δc),至于两部类供求平衡的情形则相当于Ⅰ(v+m)=Ⅱ(c+Δc)。第3组数据(C)的数据作了四舍五入。实际为:Ⅱ1454.54+727.27=2909.09。 (27)仅仅让第Ⅱ部类的资本家担任调节者确实是不合理的。因为第Ⅱ部类的资本家绝不会有那么高的“觉悟”,也不会那么听话。这件事如果交给市场来决定,市场应该能够拿出一个使两大部类的资本家都能接受的方案,但是这种方案意味着两大部类的积累率将会相同。说到这里反应快的读者可能会质问我:这么一来不就同森岛一样了吗?我的回答是,不一样!请注意,我这里说的是由市场来决定,而不是像森岛那样使之强行相等。我们将在讨论市场价值和生产价格时解决这一问题。 (28)(6-3)是从(5-4)和(5-7)推导出来的。具体推导过程是这样。首先把(5-4)代入(5-7),即把■和■带入到■中可得 ■ 然后利用■以及w■=hic■的关系可得 ■ 由此化简,让t=0就可以得到公式(6-3)了。 (29)用数学语言来说,就是α2是α1的函数,α1是自变量,α2是因变量。 (30)如果把(6-3)改写为如下形式,可能更容易看得清楚。■ (31)这一公式是基于第Ⅰ部类的生产资料的增量导出来的。为了最大经济增长率,第Ⅰ部类可以把可能使用的全部生产资料用于自身的扩大再生产,从而有第Ⅰ部类的生产资料的最大(注意:不等于合理)增量gmaxc■为:gmaxc■=w■-c■-c■ 所以有 ■ (32)马克思指出,“社会分工则以生产资料分散在许多互不依赖的商品生产者中间为前提”。并且,“每一个商品生产者都必须生产一种使用价值,即满足一种特殊的社会需要,而这种需要的范围在量上是不同的,一种内在联系把各种不同的需要量连结成一个自然的体系”。投入产出表充分反映了这一“自然的体系”。参见马克思和恩格斯(1972,pp.393-394)